Question

f(x)＝㏑x·eˣ的原函数是什么？

Answer 1

首先，我们可以将 f(x) 表示为 f(x) = ln(x) * e^x，然后尝试求出它的原函数 F(x)。

根据求导法则，有：

d/dx (e^x) = e^x

d/dx (ln(x)) = 1/x

因此，可以使用分部积分法求出 F(x)：

F(x) = ∫ f(x) dx
= ∫ ln(x) * e^x dx
= ∫ u dv (令 u = ln(x), dv = e^x dx)
= u * v - ∫ v du (利用分部积分法)
= ln(x) * e^x - ∫ e^x / x dx

对于 ∫ e^x / x dx 这个积分，它没有一个简单的解析解，因此我们需要使用另外一种方法，即无穷级数展开法：

∫ e^x / x dx = ∫ (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) dx
= C + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

其中，C 是一个常数，它可以通过求解 ∫ e^x/x 在某个特定点的值来确定。例如，当 x = 1 时，有：

∫ e^x / x dx = ∫ (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) dx
= C + 1 + 1/2! + 1/3! + ...
= C + e - 1

因此，C = ∫ e^x / x dx - e + 1，其中 e 是自然对数的底数。

将上述结果代入 F(x) 的式子中，得到：

F(x) = ln(x) * e^x - ∫ e^x / x dx
= ln(x) * e^x - (C + x + x^2/2! + x^3/3! + ...)
= ln(x) * e^x - ∫ (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) dx - x^2/2! - x^3/3! - ...
= ln(x) * e^x - (C + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) - x^2/2! - x^3/3! - ...
= ln(x) * e^x - (∫ e^x / x dx - e + 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) - x^2/2! - x^3/3! - ...
= ln(x) * e^x - ∫ e^x / x dx + e - 1 - x^2/2! - x^3/3! - ...

因此，f(x) = ln(x) * e^x 的原函数是：

F(x) = ln(x) * e^x - ∫ e^x / x dx + e - 1 - x^2/2! - x^3/3! - ...

其中，∫ e^x / x dx 是无穷级数展开式，C = ∫ e^x / x dx - e + 1，e 是自然对数的底数。

Answer 2

∫㏑x·eˣdx = ∫㏑xdeˣ = ㏑x·eˣ - ∫(eˣ/x)dx 不能用初等函数表示。