Question

为什么函数f(x)= x^ n在x趋近于0时收敛

Answer 1

原因如下：对于函数$f(x)=x^n$，我们考虑其在实数轴上的收敛性。

首先，当$x=0$时，$f(x)=0$，收敛，因此我们只需要考虑$x\neq 0$的情况。

当$n$为偶数时，$f(x)=x^n$的符号与$x$的符号相同，因此我们只需要考虑正$x$的情况即可。

假设$x>1$，则有$f(x)=x^n>x$，所以$x^{n+1}>x^n$，即函数值随$x$增大而增大，不满足收敛性。

同理，当$x<-1$时也不满足收敛性。

当$x=1$时，$f(x)=1^n=1$，收敛。

当$x=-1$时，当$n$为偶数时，$f(x)=1$，收敛；当$n$为奇数时，$f(x)=-1$，不收敛。

当$0<x<1$时，由于$0<x^n<1$，所以$x^n$随着$n$的增大而趋近于0，收敛。

同理，对于$-1<x<0$的情况也是如此。

综上，对于函数$f(x)=x^n$，当$x\in [-1,1]$时收敛，其他情况不收敛。