Question

已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的

已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是 。
答案是：x=(5/2)p,怎么做？

Answer 1

焦点F(p/2,0),A(x0,y0),B(x0,-y0) AF斜率k1=y0/(x0-p/2) OB斜率k2=-y0/x0
k1*k2=-1 y0^2=x0^2-x0p/2, y0^2=2px0 x0=5p/2, 直线AB垂直于x轴 方程为x=5p/2

Answer 2

假设A点（x1，y1），B点（x2，y2）
则|AO|=|BO|，则x1^2+y1^2=x2^2+y2^2，
又因为A、B是抛物线y2=2px(p>0)上两点，
整理得（x1-x2）（x1+x2+2p）=0，因为x1，x2，p>0，所以x1=x2，即A点B点关于x轴对称，x轴为垂线。
△AOB的垂心为其垂线交点，因此AO边方程为y1=k1x，过A点（x1，根号下2px1）
AO边上的高y2=k2x+b，过B（x1，负的根号下2px1）和焦点（p/2，0）
分别求得k1=根号下2px1/x1，k2=根号下2px1/(p/2-x1)
又因为直线y1和y2垂直，即k1*k2=-1
整理方程为x1(x1-5p/2)=0,因为x1不等于0，所以x1=（5/2)p，所以AB直线方程为x=（5/2)p