Question

实对称矩阵的定义

Answer 1

实对称矩阵的定义如下：

如果n阶矩阵A满足，则称A为实对称矩阵。

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i，j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值，必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E为单位矩阵。

5、实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

矩阵特征值

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦（λ）=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。¦（λ）=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an=0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。

特征方程¦（λ）=|λE-A|=0的根（如：λ0）称为A的特征根（或特征值）。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。