Question

圆内接三角形ABC中，AB=AC,D是BC边上一点，E是直线AD和三角形ABC外接圆的交点，AE过圆心O

问 证明 1·AB的平方等于AD乘AE
当D为BC延长线上的一点使，1中结论是否成立，如果成立说明理由，不成立也说明理由

Answer 1

1.由AE过圆心，∴AE是直径。由AB=AC，∴AE⊥BC且平分BC。
连BE，∠ABE=90°，由∠A是公共角，
∴△ABD∽△AEB，
AB：AE=AD：AB，
∴AB²=AD×AE正确。
2.当D在BC延长线上（圆外C右边），
连AD交圆于E（E在弧AC之间）
连BE，由∠ABD=∠CED（同与∠AEC互补）
又∠ABD=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，
∴∠ACE=∠ADC，由∠DAC是公共角，
∴△AEC∽△ACD，
得：AC：AD=AE：AC，
AC²=AD×AE，
即AB²=AD×AE结论不变。

Answer 2

证明：因为AB=AC,且D是BC边上一点，E是直线AD和三角形ABC外接圆的交点，AE过圆心O
所以AD为△ABC的垂线，中线，角平分线（等腰三角形三线合一）
且AE为外接圆的直径
连接BE,则∠ABE为直径对应的圆周角=90°=∠ADB
又∠BAD=∠DAB (共角)
所以△BAD相似于△EAB
所以AB/AE=AD/AB
AB^2=AD*AE
第二问不成立，因为若直线过BC延长线上的点则不可能通过圆心

Answer 3

：连接AO并延长交BC于点M，交圆O于点N
因为AB=AC，则AN必为BC的垂直平分线，AN为直径=>∠AEN=90°
因此△ADM∽△ANE=>AD×AE=AM×AN
连接BN，则∠ABN为直角=>△AMB∽△ABN=>AB²=AM×AN=>AB²=AD×AE

2：结论依旧成立
连接BE'，根据同一个弧长对应的角相等=>∠CBE'=∠CAE'
AB=AC=>∠ABC=∠ACB
∠ABC=∠ABE'+∠CBE'
∠ACB=∠CAE'+∠AD'C
=>∠ABE'=∠AD'C
根据同一个弧长对应的角相等=>∠ABE'=∠ACE'
=>△ACE'∽△AD'C=>AC²=AD'×AE'
因为AB=AC=>AB²=AD'×AE'