Question

已知a为常数,且a>0,向量m=(√x,-1),向量n=(1,ln(x+a)),

求函数f(x)=m·n在区间(0,1]上的最大值
请写出详细过程

Answer 1

f(x)=m•n=√x- ln(x+a)
f'(x)=1/(2*√(x))-1/(x+a)=(x+a-2*√(x))/(2*√(x)*(x+a))
根据条件x>0,a>0,所以分母大于0，只需观察分子。令√(x)=t(t>0),
所以x=t^2.
x+a-2*√(x)等效于t^2-2t+a,令y=t^2-2t+a.m
判别式△=4-4a，
①当a>1时，m<0,此时y>0,即f(x)在(0,+∞)单增；
此时函数f(x)=m•n在区间(0,1]上的碰拆枣最大值为f(1)=1-ln(1+a).
②当0<a≤1时,求根x1=1+√(1-a)≥御橡1,x2=1-√(1-a)≤笑拆1,
所以f(x)在(0,1-√(1-a))以及(1+√(1-a), +∞）单增；在（x1,x2）单减。
此时函数f(x)=m•n在区间(0,1]上的最大值为f(1-√(1-a)).