Question

如图,二次函数y=2x^2-2的图像与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点c,直线x=a(a>1)与x轴交于点D

(1)在直线x=a上有一点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与B、C、O（原点）为顶点的三角形相似，求点P坐标(用含a的代数式表示）
（2）在(1)成立的条件下，试问抛物线y=2x^2-2上是否存在一点Q，使四边形ABPQ为平行四边形？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由。
（过程详细）

Answer 1

解：(1)∵二次函数y=2x²-2的图像与x轴交于A、B两点(A在B的左边),
与y轴交于点c,直线x=a(a>1)与x轴交于点D 。
∴2x²-2=0
∴x=1，x=-1
∴A点的坐标(-1,0) B点的坐标(1,0) C点的坐标(0,-2)
∵直线x=a(a>1)与x轴交于点D
∴ 直线x=a平行于y轴
∴只要C、B、P三点共线则以P、D、B为顶点的三角形与B、C、O（原点）
为顶点的三角形相似
∵B点的坐标(1,0) C点的坐标(0,-2)所在的直线为y=2x-2
又因x=a
∴点P坐标为（a，2a-2）
（2）∵A点的坐标(-1,0) B点的坐标(1,0) 点P坐标为（a，2a-2）
∴直线PA为Ypa=（2a-2）/（a+1）*x+（2a-2）/（a+1）
直线PB为Ypb=2x-2
∵要使四边形ABPQ为平行四边形
则直线PB‖直线AQ,直线PA‖直线BQ
∴ 设直线AQ为yaq=2x+b则必过A点的坐标(-1,0)
∴直线AQ为Yaq=2x+2
同理：直线BQ为Ybq=（2a-2）/（a+1）*x-（2a-2）/（a+1）
∵直线AQ为Yaq=2x+2与二次函数y=2x²-2交点为Q
∴Q（2,6）或（-1,0）
∴ 把Q（2,6）或（-1,0）代入Ybq=（2a-2）/（a+1）*x-（2a-2）/（a+1）
都不能使等式两边相等。
∴直线BQ与直线AQ的交点不在抛物线上。
即：不存在ABPQ这样的平行四边形

Answer 2

（1） A(-1,0) B(1,0) C(0,-2) D(a,0) P(a,t) 分情况讨论一下，当a大于-1时，使pd的斜率等于BO的斜率，且满足相似形的长度比关系。在讨论当a小于-1时，使PA的斜率等于BO的斜率，同样要满足长度比关系