Question

如图，二次函数y=-x^2+ax+b的图像与x轴交于A（-1/2，0），B（2，0）两点,且与Y轴交于点C

（1）求该抛物线的解析式，判断三角形ABC的形状；
（2）在X轴上方的抛物线上有一点D，且A.C.D.B四点为顶点的四边形是等腰梯形，求出D的坐标（要分类，过程）
（3）在此抛物线上是否存在点p，使得以A,C,B,P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

（1）把A、B两点代入该式得a=3/2，b=1

y=-x^2+3x/2+1

C(0,1)

用勾股定理即可得△ABC为Rt△

（2）只有一个点（看图），与C点同一x轴上，

-x^2+3x/2+1=1

x1=0，x2=3/2

D（3/2，1）

（3）

①P1点

AC直线方程：y（AC）=2x+1

AC‖BP1，k值相等，且过B（2，0）

BP1直线方程y（BP1）=2x-4

-x^2+3x/2+1=2x-4

x1=2，x2=-5/2

y=-5/2*2-4=-9

P1（-5/2，-9）

②P2点

BC直线方程：y（BC）=-x/2+1

BC‖AP2，过A（-1/2，0）

AP2直线方程y（AP2）=-x/2-1/4

-x^2+3x/2+1=-x/2-1/4

x1=-1/2，x2=5/2

y=（-1/4）*（5/2）-1/4=-3/2

P2（5/2，-3/2）