Question

如图，二次函数y=-x^2+ax+b的图像与x轴交于A（-1/2，0），B（2，0）两点,且与Y轴交于点C

1）求该抛物线的解析式，判断三角形ABC的形状；
（2）在X轴上方的抛物线上有一点D，且A.C.D.B四点为顶点的四边形是等腰梯形，求出D的坐标（要分类，过程）
（3）在此抛物线上是否存在点p，使得以A,C,B,P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）由题意得： - 14- a2+b=0-4+2a+b=0，
解得 a= 32b=1；
∴抛物线的解析式为y=-x2+ 32x+1；
∴C（0，1）；
∴AC2= 14+1= 54，BC2=1+4=5，AB2=（2+ 12）2= 254；
∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；

（2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x= 34；
根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（ 32，1）；

（3）存在，点P（ 52，- 32）或（- 52，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=- 12x+1；
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=- 12x+h，
则有：（- 12）×（- 12）+h=0，h=- 14；
∴y=- 12x- 14；
联立抛物线的解析式有：
y=- 12x- 14y=-x2+ 32x+1，
解得 x=- 12y=0， x= 52y=- 32；
∴点P（ 52，- 32）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（- 52，-9）；
故当P（ 52，- 32）或（- 52，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．
（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

Answer 2

（1）把A、B两点代入该式得a=3/2，b=1
y=-x^2+3x/2+1
C(0,1)
用勾股定理即可得△ABC为Rt△
（2）只有一个点（看图），与C点同一x轴上，
-x^2+3x/2+1=1
x1=0，x2=3/2
D（3/2，1）
（3）
①P1点
AC直线方程：y（AC）=2x+1
AC‖BP1，k值相等，且过B（2，0）
BP1直线方程y（BP1）=2x-4
-x^2+3x/2+1=2x-4
x1=2，x2=-5/2
y=-5/2*2-4=-9
P1（-5/2，-9）
②P2点
BC直线方程：y（BC）=-x/2+1
BC‖AP2，过A（-1/2，0）
AP2直线方程y（AP2）=-x/2-1/4
-x^2+3x/2+1=-x/2-1/4
x1=-1/2，x2=5/2
y=（-1/4）*（5/2）-1/4=-3/2
P2（5/2，-3/2）

Answer 3

y=-x'2+1.5x+1 直角三角形