Question

到底能不能证明(1+1/n)^n<e?

我知道在n趋近于无穷大时，(1+1/n)^n是有极限的，然后把这个极限定义为e，然而，今天数学老师让我们证明(1+1/n)^n<e，我但是用的方法是两边取自然对数令y=ln((n+1)/n)-1/n后求导,发现y在定义域内单调递增，并且在n趋近于无穷大时，函数有极限y=0，于是y<0，(1+1/n)^n<e。

后来发现老师给的标准答案也是这种证明方法，但是后来我觉得这样证明是有问题的，毕竟e是(1+1/n)^n衍生出来的产物，规定e为(1+1/n)^n的极限，却又用对数来证明(1+1/n)^n<e，难道可以用自己证明自己吗？
我想知道我的想法到底对不对。

字有点多，希望大家不吝赐教。
(1+1/k)^k < [lim <n趋近于无穷大>(1+1/n)^n]这个好说。
但是，我不明白如果不用到对数的话，怎么证明[lim <n趋近于无穷大>(1+1/n)^n]存在，并且lim <n趋近于无穷大>(1+1/n)^n=e。

Answer 1

从数列的角度，考察两个数列(1+1/n)^n,(1+1/n)^(n+1) 前面的数列是单调增加的，后面的数列是单调减少的，而且第一个数列小于第二个。于是两个数列收敛于同一极限，且(1+1/n)^n<极限<(1+1/n)^(n+1),最后将该极限命名为e

Answer 2

e的定义是（1+1/n）^n的极限值但是二者不能完全等同。
利用泰勒公式可以得出e的准确定义即
e=lim┬n⁡∑_(i=0)^n▒1/i!
将(1+1/n)^n展开放缩即可得到上述关系

Answer 3

再举个例子吧。求证：连续N个正整数的乘积一定可以被N!整除。用什么证呢？？组合数？？本身都是这么定义的，又用组合数证？但实际就是这么证得，难道矛盾吗？

Answer 4

用数列单调有界和夹逼定理