Question

求证(1+1/n)∧n<e<(1+1/n)∧（n+1）

Answer 1

设数列a(n)
=
(1+1/n)^n
，数列b(n)
=
(1+1/n)^(n+1)
由于lim(x-->+oo)(1+1/x)^x
=
e
得：
lim(n-->+oo)a(n)
=
e；
lim(n-->+oo)b(n)
=
lim(n-->+oo)a(n)
*
lim(n-->+oo)(1+1/n)
=
e.
因此只需证数列a(n)单调递增且数列b(n)单调递减
<1>证明数列a(n)单调递增：
a(n)
=
(1+1/n)^n
=
(1+1/n)
*
(1+1/n)
*
…
*
(1+1/n)
*
1
(n+1个因子相乘，运用不等式)
<
(
((1+1/n)
+
(1+1/n)
+
…
+
(1+1/n)
+
1)
/
(n+1)
)^(n+1)
=
(
(n+2)
/
(n+1)
)^(n+1)
=
(
1
+
1/(n+1)
)^(n+1)
=
a(n+1)
即a(n)
<
a(n+1)
，从而数列a(n)
单调递增
<2>证明数列b(n)单调递减：
b(n)
=
(1+1/n)^(n+1)
=
1
/
(
n/(n+1)
)^(n+1)
=
1
/
(
1-1/(n+1)
)^(n+1)
(
令
t
=
-
(n+1)
，换元
)
=
(1+1/t)^t
=
a(t)
由<1>得a(t)关于t单调递增，而t
=
-
(n+1)关于n单调递减，由复合函数的单调性知，
b(n)单调递减。
由<1><2>,得证！

Answer 2

对于可以用初等数学解决的问题，我绝不用高等数学去做。
可以利用基本不等式：a1*a2*..*an≤[(a1+a2+...+an)/n]^n加以证明
(1+1/n)^n=(1+1/n)*(1+1/n)*...*(1+1/n)*1
（注意：这里多乘了一个1，这样就变成(n+1)项了）
≤{[n*(1+1/n)+1]/(n+1)}^(n+1)
=(1+1/(n+1))^(n+1)
对于n为有理数的情况可以仿照上面的方法加以证明，并由函数的连续性可以推广到全体实数范围内成立。