Question

证明不等式ln(1+1/n)<1/n

我也不知道你们谁对，加点分你们平分吧。

Answer 1

nln(1+1/n)<1
ln(1+1/n)^n<1
(1+1/n)^n<e
只有n趋近于无穷大晨时(1+1/n)^n才趋近于e
故(1+1/n)^n<e恒成立
即ln(1+1/n)<1/n恒成立

Answer 2

因为
f(x)=ln(1+x)-x x>0
f‘(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x）<0
故 f(x)是减函数，
故 f(x)<f(0)=0
ln(1+x)<x
故 对任意N
ln(1+1/n)<1/n 成立

Answer 3

f(x)=ln(1+x)-x x>0
f‘(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x）<0
所以f(x)是减函数，所以f(x)<f(0)=0，ln(1+x)<x
所以对任意自然数n，ln(1+1/n)<1/n