Question

证明不等式1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n

Answer 1

证明：用第二数学归纳法证明之。
1、当n=1时，命题显然成立。即：1/2＜ln3-ln2＜1(1)；设命题当n≤k时都成立。即当n=2时，有：1/3＜ln3-ln2＜1/2（2）；。。。；将前k-2个不等式两边分别相加得：1/2+1/3+1/4+。。。+1/(k-1)＜ln(k-1)＜1+1/2+1/3+1/4+。。。+1/（k-2)（**）；当n=k-1时，又有：1/k＜lnk＜1/（k-1）。将上述前k-1个不等式的左右两端分别相加得：1/2+1/3+1/4+。。。+1/k＜ln（k-1）＜1+1/2+1/3+1/4+...+1/(k-1)（*）。（**）式-（*）式得：1/k＜lnk-ln（k-1）＜1/(k-1)。所以命题对n=k-1是成立的。下面来看n=k时的情形。
2、当n=k时，就是要证：1/（k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k。用反证法来证之。假定命题对n=k时不成立，即：1/(k+1)＜ln(k+1)-lnk＜1/k不成立，那么就有：ln(k+1/k)＞1/k①，且ln(k+1/k)＜1/(k+1)或-ln(k+1/k)＞-1/(k+1)②成立。于是①式+②式得：0＞1/k-1/(k+1)=1/k(k+1)。于是有：k(k+1)＜0，但是k＞0。所以此不等式的解只能是：k＜-1。此与k是正整数矛盾！所以假设不正确。综上所述，命题对于一切自然数n都成立。