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不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)<f(0)=0,t>0即
ln(1+t)<t,t>0
我们取1/n(>0)替换t有
ln[1+1/n]<1/n,n∈N+命题得证。
f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)<0,t>0
得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则
f(t)<f(0)=0,t>0即
ln(1+t)<t,t>0
我们取1/n(>0)替换t有
ln[1+1/n]<1/n,n∈N+命题得证。
追问
而t是不可以等于0的,请问这样的话你这种证明是不是就不严谨了?
追答
你好!f(t)=ln(1+t)-t,t>=0这是我们【引入的函数】,它的原始定义域为(-1,+∞),t显然可等于0.
并且t>0时恒有ln(1+t)<t,而且1/n它是大于0的,所以1/n是可以替换t的。还有很多方法,中值定理也可证明。
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