Question

ln(1+1/n)<1/n为什么？

Answer 1

设f(x)＝lnx,用拉格朗日中值定理，在n到n＋1区间，存在一点ξ使得ln(1+1/n)＝ln(1+n)－ln n＝1/ξ

Answer 2

证明如下：
原不等式成立的充分条件是ln(1+1/x)<1/x,x>0
F(x)=ln(1+1/x)-1/x,
求导：F'(x)=-x/[(x+1)x^2]+1/x^2=1/(x^2(x+1))>0
故F(x)在x>0时单增，
最大值不存在，但lim（x→+∞)F(x)=0
故F(x)的水平渐近线是y=0
F(x)<0，
ln(1+1/x)<1/x
故ln(1+1/n)<1/n成立