Question

证明不等式：ln（n+1）小于等于1+1/2+....+1/n小于1+lnn

Answer 1

证明如下：

已知x>ln(1+x)

1>ln(1+1)

1/2>ln(1+1/2)

1/3>ln(1+1/3)

1/n>>ln(1+1/n)

累加

1+1/2+1/3+...+1/n>ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln(1+1/n)=ln(2×3/2×4/3×...×（1+n）/n)=ln(n+1)

扩展资料：

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

Answer 2

绘图可知
积分（1，n）1/tdt ＞ （1，n）1/n 连加
因为积分图像为连贯曲线，而连加为多个小矩形 每一段x轴上1单位长度对应的体积， 曲线围成曲变梯形更大。0-1区间体积取1x1=1，故右成立
若积分为积分（1，n）1/n+1， 绘图可知这个积分图形体积较多个矩形体积之和要小， 同理可以证左成立。

Answer 3

Answer 4

也可以用黎曼和估计积分 ln x （估计x 从1 到n 的积分推右边，估计x 从1到n+1的积分推左边）。