Question

ln(n+1)<1+1/2+1/3.....+1/n<1+lnn 用定积分证明 答案看不懂求助

Answer 1

证明：令 f(x) =1/x,则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上求出最大值和最小值。

解析如下：

1、按照定积分的周期函数的平移性质 确实应该先确定被积函数的周期，最主要用三角函数那个降幂扩角那个公式确定周期。

2、积分限变换的时候，确实要考虑被积函数的正负 题中(1)(2)换积分限是因为它的周期而不是正负的问题，(2)第4个等号才是应为正负而去掉根号的。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

证明：令 f(x) =1/x,
则 f(x) 在区间 [ n, n+1 ] 上的最大值为
f(n) =1/n,
最小值为
f(n+1) =1/(n+1).
由定积分性质, 得
1/(n+1) < f(x)在[ n, n+1 ] 上的定积分 < 1/n
即 1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n.
所以 1/2 < ln 2 < 1,
1/3 < ln3 -ln2 < 1/2,
... ...
1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n,
所以 1/2 +1/3 +... +1/(n+1) < ln (n+1) < 1 +1/2 +1/3 +... +1/n,
同理, 1/2 +1/3 +... +1/n < ln n,
所以 1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.
综上, ln (n+1) <1 +1/2 +1/3 +... +1/n < 1 +ln n.

则由定积分的性质：设M,m 分别是 f(x) 在 [a,b] 上的最大值及最小值,
得： m (b-a) ≤ f(x) 在 [a,b] 上的定积分≤ M (b-a).

追问

ln (n+1) -ln n这是怎么来的

追答

f(x)在[ n, n+1 ] 上的定积分=ln (n+1) -ln n

追问

这是公式么

追答

∫(1/x)dx=ln|x|+C
又n>0,则定积分=ln(n+1)-lnn

追问

这是怎么推出来的呢 这是用的定积分的性质还是计算公式 根据什么得出来的呢 谢谢

追答

不定积分的基本公式。

追问

∫(1/x)dx=ln|x|+C
又n>0,则定积分=ln(n+1)-lnn 为什么n大于0推出则定积分=ln(n+1)-lnn

追答

|n|=n

追问

定积分=ln(n+1)-lnn 是不是函数的上限减去函数的下限 可不可以这么理解

追答

ok,就这样子。