Question

一道初三数学题在线等

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°.O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D,与BC相切于点E.设⊙O交OB于F，连结DF并延长交CB的延长线于G.
1)∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？
(2)求由DG、GE和弧ED围成的图形的面积(阴影部分).
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Answer 1

（1）证明：连接OD。
AD是圆O切线，∠ADO=90=∠C。
所以OD‖BC，∠BGF=∠ODF
∠BFG=∠OFD
∵OD=OF∴∠ODF=∠OFD
∴∠BFG=∠BGF
（2）连接OE
O为AB中点,OD‖BC.所以D为AC中点,OD是三角形ABC中位线,OD=OF=BC/2=3
三角形ABC是等腰直角三角形,AB=√2BC=6√2
O为AB中点,BO=3√2.∴BF=3√2-3
∠BFG=∠BGF,BG=BF=3√2-3
CD=AC/2=3,CG=BC+BG=3√2+3
S△GDC=1/2×CD×CG=(9√2+9)/2
OD⊥CD,OE⊥CE,CD⊥CE,且CD=OD
四边形CDOE是正方形,面积为9
∠DOE=90,S扇形DOE=90π×3²/360=9π/4
因此线段CD和CE及弧DE所围成图形面积:9-9π/4
因此所求面积为(9√2+9)/2-(9-9π/4)=(18√2-18+9π)/4