Question

已知点A(已0,-2),B(0,40,动点P(X,Y)满足向量PA*向量PB=y^2-8. (1)求动点P的轨迹方程；

(2)设(1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C.D两点。求证：OC垂直OD（0为原点）
要详细过程

Answer 1

解：（1）由已知PA=( x,y-4)，PB=( x,y+4);所以PA PB= x^2+y^2-2y-8.
又因为PA PB= y^2-8,所以x^2+y^2-2y-8 =y^2-8, ，整理得：x^2=2y
故动点P的轨迹方程为 。
（2）设C(x1,y1) ，D(x2,y2)，联立方程 x^2=2y 与y=x+2得： x^2-2x-4=0
则 ，x1+x2=2,x1*x2=-4
从而 y1*y2=(x1+2)(x2+2)=x1*x2+2(x1+x2)+4=4
因为 OC*OD=x1*x2+y1*y2=0，所以 OC垂直OD.

Answer 2

（1)PA=(0-x,-2-y),PB=(0-x,40-y)
故PA*PB=x^2+(y+2)(y-40)=x^2+y^2-38y-80
动点P的轨迹方程为：x^2+y^2-38y-80＝y^2-8，即:x^2-38y-72=0
是一条开口向上的抛物线
(2)将y=x+2代入x^2-38y-72=0中得到
x^2-38x+76-72=0
解得：x1=19+根号357,x2=19-根号357
得C(19+根号357,21＋根号357),D(19-根号357,21-根号357)
于是：OC*OD=19^2-357+21^2-357不=0
〔注：此题数据是否有误？按理上面乘积应该等于0〕

Answer 3

pA=(-x,-2-y)
PB=(-x,40-y)
pA*PB=x^2+y^2-38y-80=y^2-8 化简后
x^2-38y-72=0