Question

若a.b.c为两两不等的有理数，求证：根号｛1/（a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²｝为有理数。

Answer 1

设a-b=m,b-c=n,c-a=k
则m+n+k=0,k=-(m+n)
根号下1/（a-b）的平方+1/（b-c）的平方+1/（c-a）的平方=根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)
1/m^2+1/n^2+1/k^2=1/m^2+1/n^2+1/(m+n)^2
=(m^2+n^2)/(m^2n^2)+1/(m+n)^2
={[(m+n)^2-2mn](m+n)^2+m^2+n^2}/[mn(m+n)]^2
=(m+n-mn)^2/[mn(m+n)]^2
根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|
因为a,b,c为两两不相等的有理数,
所以)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|是有理数
即题目得证

Answer 2

设a-b=m,b-c=n,c-a=k
则m+n+k=0,k=-(m+n)
根号下1/（a-b）的平方+1/（b-c）的平方+1/（c-a）的平方=根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)
1/m^2+1/n^2+1/k^2=1/m^2+1/n^2+1/(m+n)^2
=(m^2+n^2)/(m^2n^2)+1/(m+n)^2
={[(m+n)^2-2mn](m+n)^2+m^2+n^2}/[mn(m+n)]^2
=(m+n-mn)^2/[mn(m+n)]^2
根号下(1/m^2+1/n^2+1/k^2)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|
因为a,b,c为两两不相等的有理数,
所以)=|m+n-mn|/|mn(m+n)|是有理数
即题目得证

Answer 3

事实上，有理数经过加减乘除乘方运算后，仍然是有理数