若a，b，c为两两不等的有理数，求证：√1\(a-b)^2+1\(b-c)^2+1\(c-a)^2为有理数。
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想到一种比较对称的变形:
首先(c-a)+(a-b)+(b-c) = 0.
除以(a-b)(b-c)(c-a)得:1/((a-b)(b-c))+1/((b-c)(c-a))+1/((c-a)(a-b)) = 0.
于是1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²
= 1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²+2(1/((a-b)(b-c))+1/((b-c)(c-a))+1/((c-a)(a-b)))
= (1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a))²
因此√(1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²) = |1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)|为有理数.
首先(c-a)+(a-b)+(b-c) = 0.
除以(a-b)(b-c)(c-a)得:1/((a-b)(b-c))+1/((b-c)(c-a))+1/((c-a)(a-b)) = 0.
于是1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²
= 1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²+2(1/((a-b)(b-c))+1/((b-c)(c-a))+1/((c-a)(a-b)))
= (1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a))²
因此√(1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²) = |1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)|为有理数.
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