Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，DC⊥BC，P是边AB上的一动点

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，DC⊥BC，P是边AB上的一动点，PE⊥CD，垂足为点E，PM⊥AB，交边CD于点M，AD=1，AB=5，CD=4.
（1）求证：∠PME=∠B；
（2）设A、P两点的距离为x,EM=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结PD，当△PDM是以PM为腰的等腰三角形时，求AP的长。

Answer 1

1.∵∠APM=∠D=90 ∴∠A+∠PME=180
同理∠B+∠A=180 ∴：∠PME=∠B
2.作AF⊥BC于F,交PE于G，∵CD=4，又∵AB=5，∴BF=3，BC=4
由结论1可证△ABF∽△PME
∴PE:ME=AF:BF=4:3
同理可证△ABF∽△PME∴AP:PG=AB:BF=5:3
即AP:(PE-1)=AP:(4/3EM-1)=5/3
即X:(4/3Y-1)=5/3 得到Y=0.45X+0.75 其中0≤X≤2.6
3. 当PM=PD时，EM=DE=AG,又AP=5/4AG=5/4EM,与结论2联合求解，得到AP=15/7
当PM=DM时，DM=5/3EM,即DE=2/3EM,与结论2联合求解，得到AP=1