已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθ·cosθ=sin²β，求证：2cos2α=cos2β.
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解：∵sinθ+cosθ=2sinα
∴(sinθ+cosθ)²=(2sinα)²
==>sin²θ+cos²θ+2sinθ*cosθ=4sin²α
==>1+2sinθ*cosθ=4sin²α
∵sinθ·cosθ=sin²β
∴1+2sin²β=4sin²α
==>1+1-cos(2β)=2(1-cos(2α))
==>2-cos(2β)=2-2cos(2α)
==>-cos(2β)=-2cos(2α)
==>2cos(2α)=cos(2β)
故原命题成立，证毕。
∴(sinθ+cosθ)²=(2sinα)²
==>sin²θ+cos²θ+2sinθ*cosθ=4sin²α
==>1+2sinθ*cosθ=4sin²α
∵sinθ·cosθ=sin²β
∴1+2sin²β=4sin²α
==>1+1-cos(2β)=2(1-cos(2α))
==>2-cos(2β)=2-2cos(2α)
==>-cos(2β)=-2cos(2α)
==>2cos(2α)=cos(2β)
故原命题成立，证毕。
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