Question

在△ABC中,AD,BE分别为BC,AC边上的高,过D作AB的垂线交AB于F,交BE于G,交AC的延长线于H，求BF的平方=FG乘FH

Answer 1

已知，DF是等腰Rt△ABD斜边上的高，
（题中还需要增加一个条件：AD = BD ，否则BF的平方=FG乘FH不一定成立）
则有：DF是AB的垂直平分线，可得：HA = HB 。

HF是等腰△HAB底边上的高，可得：∠AHF = ∠BHF 。

在△BFG和△HFB中，
∠BFG = 90°= ∠HFB ，∠FBG = 90°-∠BGF = 90°-∠EGH = ∠AHF = ∠BHF ，
所以，△BFG ∽ △HFB ，可得：BF/HF = FG/FB ，即有：BF² = FG·FH 。