Question

无穷数级∑ 收敛

我想问下到底无穷数级∑an怎么样才算收敛，我看定义一会说是lim（an）=0的时候收敛，一会又说有极限的时候收敛。。。我都搞不懂怎么去判定是不是收敛的了。。。
那是不是有
“如果级数收敛，则它的一般项极限为零。
或者如果级数的一般项不为零，则该级数必定发散。”这说法？
他这个一般项是不是就是指数列an，所以我们在算的时候如果an是趋于0的，也就是说∑an收敛？而∑an的极限是要单独再算的？

Answer 1

lim(an)=0不能判断无穷级数∑an收敛，例如∑(1/n)，lim(1/n)n趋近于无穷大=0，但∑(1/n)并不收敛，若要证明一个级数收敛，必须证明它的前n项和在n趋近于无穷大时有界。或者根据级数的性质证明这个级数小于某个收敛的级数，比如∑(1/n²)

关于你的补充：
前面一半是正确的：级数收敛，一般项极限为零，级数的一般项极限不为零，则级数一定发散，一般项极限为零时级数收敛的必要条件，而不是充分条件，这个一般项就是所谓的an
后面一半不正确：an趋于零只是级数收敛的必要条件，必须证明∑an有界，才能证明an级数收敛，我上面举的例子是(1/n)级数不收敛，尽管(1/n)在n趋于无穷大时极限为零，下面我给出简单的证明：
∑(1/n)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n+...
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+{1/[2^(k)+1]+...+1/[2^(k+1)]}+...
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...+(2^k)/[2^(k+1)]+...
=1+1/2+1/2+1/2+...+1/2+...
随着n的增长，这个无穷级数将累加无数的1/2所以∑(1/n)是无界的，也就是说(1/n)这个级数不收敛
（注：1/n级数又称调和级数Harmonic Series，这个数的前n项和没有简单数学表达式，被表示为ln(n)+Harmonic Number，这个Harmonic Number不是一个定常数是ln(n)与∑(1/n)的差，n趋于无穷大时，这个数大概为5.77左右，但显而易见，ln(n)是无界的，尽管他的导数越来越小）。

另外，可以证明∑(1/n²) 是收敛的，因为∑(1/n²) 的上界为π²/6，没有简单的数学表达式，可以通过傅里叶变换等方法证明，如果想研究可以搜索Basel Problem

总之，记住一条，证明级数收敛一定要证明级数前n项和的极限有界，这是最根本的定义，证明的方法有很多，但原则上是这样的。

有问题还可以再补充，或者直接给我留言