Question

求幂级数∞∑(n=0)(x^2n)/(4^n+1)的收敛半径

这道题的解法我知道 主要是书上写的不能用比值和根值判别求收敛半径定理的理由我不太明白 它是这么写的：记a(n)为所给幂级数的x^n项的系数，则a(2n+1)=0(n=1,2,...) 于是不能用上述定理公式
我的疑问：a(n)的具体式子是怎样没写出来？为什么取a(2n+1)=0有什么用？怎么算的0？怎么判定的lim(n→∞)│a(n+1)/a(n)│或lim(n→∞)│a(n)│^(1/n)没有极限？
上述提到的定理：设幂级数∞∑(n=0)a(n)x^n，如果lim(n→∞)│a(n+1)/a(n)│=p(或者lim(n→∞)│a(n)│^(1/n)=p) 则0<p<+∞，p=0，p=+∞时 R（收敛半径）=1/p,+∞,0.只有当lim(n→∞)│a(n+1)/a(n)│或者lim(n→∞)│a(n)│^(1/n)存在或为无穷大时，才能用该定理

Answer 1

令t=x²，就可能用幂级数方法，得到t的半径。从而得解