Question

已知函数f(x)=3^x+1/(3^x) 利用单调性的定义证明在(0,正无穷)上是增函数)

已知函数f(x)=3^x+1/(3^x) 利用单调性的定义证明在(0,正无穷)上是增函数)

Answer 1

解：设x1,x2∈（0，+∞）且x1<x2
f(x1)-f(x2)=3^x1+1/3^x1-3^x2-1/3^x2=(3^x1-3^x2)[(3^(x1+x2)-1)/3^(x1+x2)]
因为x1<x2，所以3^x1<3^x2,x1+x2>0,3^(x1+x2)>1
所以(3^x1-3^x2)[(3^(x1+x2)-1)/3^(x1+x2)]<0
即f(x1)<f(x2).。所以f(x)=3^x+1/(3^x) 在(0,+∞)上是增函数。

Answer 2

令△x＞0
f(x+△x)=3^(x+△x)+1/[3^(x+△x) ] ，f(x)=3^x+1/(3^x)
f(x+△x)-f(x)=3^(x+△x)+1/[3^(x+△x) ]-3^x-1/(3^x)
=3^△x*3^x+1/(3^△x*3^x) -3^x-1/(3^x)
=(3^△x-1)*3^x+(1/3^△x-1)*1/(3^x)
=(3^△x-1)*3^x-(3^△x-1)/(3^△x*3^x)
=(3^△x-1)*【3^x-1/(3^△x*3^x)】

∵△x＞0，∴3^△x＞1，∴3^△x-1＞0
∵x＞0，∴3^x＞1，又：3^△x＞1，∴3^△x*3^x＞1，∴1/(3^△x*3^x)＜1，∴(3^x-1)/(3^△x*3^x)＞0
∴(3^△x-1)*【3^x-1/(3^△x*3^x)】＞0
∴f(x+△x)-f(x)＞0，得证