Question

2.若双曲线x*2/a*2-y*2/b*2=1的两条渐近线互相垂直,则双曲线的焦点到渐近线的距离

2.若双曲线x*2/a*2-y*2/b*2=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于————。

Answer 1

解：
∵两条渐近线相互垂直
∴渐近线y=±(b/a)x=±x，即b=a
∴c²=a²+b²=2a²，即c=√2a
即焦点为(±√2a,0)
点(√2a,0)到直线x+y=0的距离为：|√2a+0|/√(1+1)=a
同理，(±√2a,0)到直线x±y=0的距离均为a
所以双曲线焦点到渐近线的距离为a

Answer 2

渐近线斜率是±b/a
垂直则b/a*(-b/a)=-1
b²=a²
b=a
所以b/a=1
渐近线y=±x

交点(c,0)
则到x-y=0距离=|c-0|/√(1²+1²)=c/√2

Answer 3

解：（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，∴ ，

得 a2 = b2，于是 c2 = a2 + b2 = 2a2 = 4，因此 a2 = 2，b2 = 2．所以双曲线的方程为． 4分

（2）① 当直线l1、l2其中一条与x轴垂直，不妨设l1⊥x轴时，

则，，，．

∴ ，，

∴ ． … 5分

② 当直线l1、l2都不与x轴垂直时，

设l1：y = k（x－2），k≠0，则 l2：．

由 消去y，整理得（k2－1）x2－4k2x + 4k2 + 2 = 0．

∵ l1与双曲线有两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y1y2 = k (x1－2) k (x2－2)，，，

∴ (1 + k2 )(x1－2) (x2－2)

= (1 + k2) [ x1x2－2(x1 + x2) + 4 ] =． ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

综合①②，得． …………… 12分