Question

求两道高中数学题（关于椭圆），急急急！

1.已知椭圆方程为x＾2/9+y＾2/4＝1，在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）(其中0<a<3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由。

2.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线，记椭圆C的离心率为e。
（1）若直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小。
（2）在（1）的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+(根号3)y+3=0相切，求椭圆C的方程。
过程，过程！好的加分，要快啊！

Answer 1

1.解：∵椭圆方程为x^2/9+y^2/4=1
设P(x,y)
到定点A(a,0)(0<a<3)距离为：S=√((x-a)^2+y^2)
由椭圆得y^2=4-4/9x^2
S(x)=√((x-a)^2+4-4/9x^2) =√((5/9x^2-2ax+a^2+4)
令S’(x)=(10/9x-2a)/[2√((5/9x^2-2ax+a^2+4)]=0
X=9a/5
∵当x渐增取过X=9a/5时，S’(x)由负变正，∴S(x)在X=9a/5处取极小值
S(9a/5)=√((4/5a)^2+4-4/9*81a^2/25) =√(4-4a^2/5)=1
∴a=√15/2，X=9√15/10 y^2=4-4/9x^2=4-27/5<0
∴a=√15/2，P点不存在

2.(1)解：∵椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点
设直线L方程为y=tan60°(x-a)==>y=√3x-√3a
∵直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线
∴其半径为原点到直线L的距离：b=|√3x-y-√3a|/√(3+1)=√3/2a
又c^2=a^2-b^2==>e^2=1-(b/a)^2=1-3/4=1/4==>e=1/2；
(2)解析：由(1)e=1/2==>a=2c
∴b^2=a^2-c^2=3c^2==>b=√3c
∵A(0,b)，F(-c,0)，∴AF方程为：y=b/cx+b==>y=√3x+b
FB方程为：y=-√3/3x+b，∴B(√3b,0)
∵FA⊥FB，∴⊿AFB外接圆的半径为：(√3b+c)/2=2c
圆心坐标((√3b-c)/2,0)=(c,0)
∵过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+√3y+3=0相切
∴圆心到直线L距离：| x+√3y+3|/2=|c+3|/2=2c==>c=1
∴c=1,b=√3,a=2
∴椭圆C方程为：x^2/4+y^2/3=1

Answer 2

2.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线，记椭圆C的离心率为e。
（1）若直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小。
（2）在（1）的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+(根号3)y+3=0相切，求椭圆C的方程。
(1)解析：∵椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点
设直线L方程为y=tan60°(x-a)==>y=√3x-√3a
∵直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线
∴其半径为原点到直线L的距离：b=|√3x-y-√3a|/√(3+1)=√3/2a
又c^2=a^2-b^2==>e^2=1-(b/a)^2=1-3/4=1/4==>e=1/2；
(2)解析：由(1)e=1/2==>a=2c
∴b^2=a^2-c^2=3c^2==>b=√3c
∵A(0,b)，F(-c,0)，∴AF方程为：y=b/cx+b==>y=√3x+b
FB方程为：y=-√3/3x+b，∴B(√3b,0)
∵FA⊥FB，∴⊿AFB外接圆的半径为：(√3b+c)/2=2c
圆心坐标((√3b-c)/2,0)=(c,0)
∵过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+√3y+3=0相切
∴圆心到直线L距离：| x+√3y+3|/2=|c+3|/2=2c==>c=1
∴c=1,b=√3,a=2
∴椭圆C方程为：x^2/4+y^2/3=1

1.已知椭圆方程为x＾2/9+y＾2/4＝1，在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）(其中0<a<3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由。
解析：∵椭圆方程为x^2/9+y^2/4=1
设P(x,y)
到定点A(a,0)(0<a<3)距离为：S=√((x-a)^2+y^2)
由椭圆得y^2=4-4/9x^2
S(x)=√((x-a)^2+4-4/9x^2) =√((5/9x^2-2ax+a^2+4)
令S’(x)=(10/9x-2a)/[2√((5/9x^2-2ax+a^2+4)]=0
X=9a/5
∵当x渐增取过X=9a/5时，S’(x)由负变正，∴S(x)在X=9a/5处取极小值
S(9a/5)=√((4/5a)^2+4-4/9*81a^2/25) =√(4-4a^2/5)=1
∴a=√15/2，X=9√15/10 y^2=4-4/9x^2=4-27/5<0
∴a=√15/2，P点不存在

Answer 3

2.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线，记椭圆C的离心率为e。
（1）若直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小。
（2）在（1）的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+(根号3)y+3=0相切，求椭圆C的方程。
(1)解析：∵椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，直线L的倾斜角为60°，且恰好经过椭圆C的右顶点
设直线L方程为y=tan60°(x-a)==>y=√3x-√3a
∵直线L为圆O：x^2+y^2=b^2的一条切线
∴其半径为原点到直线L的距离：b=|√3x-y-√3a|/√(3+1)=√3/2a
又c^2=a^2-b^2==>e^2=1-(b/a)^2=1-3/4=1/4==>e=1/2；
(2)解析：由(1)e=1/2==>a=2c
∴b^2=a^2-c^2=3c^2==>b=√3c
∵A(0,b)，F(-c,0)，∴AF方程为：y=b/cx+b==>y=√3x+b
FB方程为：y=-√3/3x+b，∴B(√3b,0)
∵FA⊥FB，∴⊿AFB外接圆的半径为：(√3b+c)/2=2c
圆心坐标((√3b-c)/2,0)=(c,0)
∵过A、B、F三点的圆恰好与直线L：x+√3y+3=0相切
∴圆心到直线L距离：| x+√3y+3|/2=|c+3|/2=2c==>c=1
∴c=1,b=√3,a=2
∴椭圆C方程为：x^2/4+y^2/3=1

Answer 4

对不起，我现在是中学生，等上高中，我一定回答你