Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1

（1）求此抛物线的函数关系式。
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。
（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

Answer 1

1)根据题义可列方程组

   b = -2a

     a + 2a + c = 0

     c = 1

解之得 ，a = -1/3     b = 2/3    

函数解析式为  y = -x^2/3  + 2X/3  +1

2)当 x = 1 时，P 点的纵坐标值最大 y(P) = 4/3 ，x轴上两个交点分别是A（-1，0）B（3，0）

此时三角形ABP 的面积 S  = 4 * 4/3 / 2 = 8/3

3）使△ABQ的面积与△ABP的面积相等，三角形的底边不变，则Q点距 x 轴的距离应该与P点到x轴的距离相同 ，也等于 4/3，但因为这个点处于x轴下方，所以y(Q)= -4/3   

    -x^2/3  + 2X/3  +1 = -4/3

 解之得， x1 = 1-2√2      x2 = 1+2√2

所以，符合条件的点有两个，（1-2√2  ，-4/3）（1+2√2，-4/3）