Question

三角函数题

若函数f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx（0≤x≤π/2）的最小值是-2，求实数a的值，并求出此时f（x)的最大值

Answer 1

f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx=2cos²x-2acosx+(a-1)²-2
0=<t=cosx<=1,g(t)=2t²-2at+a²-2a-1，对称轴t=a/2
当a/2<0,g(0)=a²-2a-1=-2, a=1,矛盾
当0<=a/2<=1，g(a)=a²/2-a²+a²-2a-1=-2，a²-4a+2=0，a=，最大值g(0)=
当a/2>1，g(0)a²-2a-1=-2, a=1,矛盾
可知第二种情况就是答案

Answer 2

解：
f（x）为x的函数，因而a为常数。将sin2x改写成1-cos2x，f（x）=2cos2x-2acosx+a2-2a-1，令t=cosx，则t的取值范围为【0,1】，f（x）=2t2-2at+a2-2a-1,最小值位于t=a/2处。将t=a/2代入得
最小值为-2=2（a/2）2-2a*a/2+a2-2a-1=a2/2-2a-1
整理得a2-4a+2=0
解得a=2+√ 2或者a=2-√2
（1）a=2+√ 2时f（x）=2t2-2（√2+2）t+1+2√2，最大值为t=0时的值，为1+2√2
（2）a=2-√2时f（x）=2t2-2（2-√2）t+1-2√2，最大值为t=0时的值，为1-2√2

Answer 3

t=cosx,f(x)=F(t)=2t^2-2at+a^2-2a-1对称轴t=a/2
当a<0,t=0最小，代入得a=1.舍掉
当0<a<2,t=a/2最小,a=2-根号2，最大值为2-2根号2,。另外a=2+根号2舍掉。
当a>2,t=1最小，代入得a=1(舍掉),a=3,且t=0时有最大值为2

Answer 4

先假设a=0或a不等于0两种情况进行分析，再把正弦的平方化为余弦进行函数分析即可

Answer 5

f（x）=（a-1）2-2sin2x-2acosx=2cos2x-2acosx+(a-1)2-2
0=<t=cosx<=1,g(t)=2t2-2at+a2-2a-1，对称轴t=a/2
当a/2<0,g(0)=a2-2a-1=-2, a=1,矛盾
当0<=a/2<=1，g(a)=a2/2-a2+a2-2a-1=-2，a2-4a+2=0，a=，最大值g(0)=
当a/2>1，g(0)a2-2a-1=-2, a=1,矛盾

Answer 6

1.5
-7/8