Question

急解求高中函数题，谢谢！

已知函数F（X）是偶函数，其定义域为（－1，1），且在[0，1）上为增函数，若F（a-2）-F(4-a^2)<0,试求a的取值范围？

Answer 1

因为函数F（X）为偶函数，在[0，1）上为增函数,那么F（X）＝F（－X），且在（－1，0〕上为递减。
因为F（X）的定义域为（－1，1），那么-1<a-2<1且-1<4-a^2<1
得1<a<3,且 3<a^2<5
即√3<a<√5

又F（a-2）-F(4-a^2)<0 即F（a-2）<F(4-a^2)，由此得|a-2|<|4-a^2|
|a-2|<|4-a^2|=|a^2-4|=|(a-2)(a+2)|=|a-2||a+2|
当a=2时，上列不等式不成立。因此a不能等于2
当a不等于2时，|a-2|<|a-2||a+2|简化为1<|a+2|，即a+2<-1或a+2>1，得a<-3 或a>-1

结合定义域得a的取值范围是√3<a<√5 且a不等2

Answer 2

由于是偶函数，且在零到一上为增函数，则条件中变形后，就有f(|a-2|)<f(|4-a*a|).这个总知道吧（偶函数f(a)=f(|a|)）。又是单调增的，所以a-2<4-a*a；a-2>-1；4-a*a<1;求出a的范围为根号下3到2
答案还满意吧，能给分了吗？

Answer 3

在[0,1)上是增函数
则0<=a<b<1时，f(a)-f(b)<0
f(x)是偶函数
所以f(-a)=f(a),f(-b)=f(b)
所以-1<-b<-a<=0
则f(-b)-f(-a)=f(b)-f(a)>0
所以f(x)在(-1,0]是减函数

定义域
-1<a-2<1,1<a<3
-1<a^2-4<1,3<a^2<5
要符合1<a<3
所以√3<a<√5

f(a-2)-f(4-a^2)<0
所以f(a-2)-f(a^2-4)<0
f(a-2)<f(a^2-4)

若a-2<0,a^2-4<0
减函数，a-2>a^2-4
a^2-a-2<0,-1<a<2
所以√3<a<2

若a-2>0,a^2-4>0
增函数
a-2<a^2-4
a^2-a-2>0
a>2,a<-1
所以2<a<√5

若0<a-2<1,-1<a^2-4<0
则-1<2-a<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以2-a>a^2-4
a^2+a-6<0
-3<a<2
所以√3<a<2

若-1<a-2<0,0<a^2-4<1
则-1<4-a^2<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以a-2>4-a^2
a^2+a-6>0
a<-3,a>2
所以2<a<√5

所以
√3<a<2和2<a<√5

Answer 4

a-2 ＞4-a^2
a^2+a-6＞0
(a+1/2)^2＞25/4∴a+1/2 ＞±5/2
a＞±2
6∵-2-2＜0 不在[0，1）内
∴a＞2
又a-2＜1
2＜a＜3

Answer 5

解：（一）先求复合函数中，a的取值范围。易知，-1＜a-2＜1.且-1＜4-a²＜1.===>√3＜a＜√5.∴a∈(√3,√5).(二）易知，在(√3,2)上，恒有0＜2-a＜4-a²＜1.∴由题设有f(2-a)＜f(4-a²).===>f(2-a)-f(4-a²)＜0.∴当a∈(√3,2)时，f(a-2)-f(4-a²)＜0.(三）在(2,√5)上，易知恒有0＜a-2＜a²-4＜1.===>f(a-2)＜f(a²-4)=f(4-a²).===>f(a-2)-f(4-a²)＜0.∴当x∈(2,√5)时，恒有f(a-2)-f(4-a²)＜0.综上可知，原不等式的解集为a∈(√3,2)∪(2,√5).