Question

已知实数x、y、z满足x²+y²+z²=4，则（2x-y）²+（2y-z）²+（2z-x）²的最大

如题

Answer 1

(2x-y）²+（2y-z）²+（2z-x)²=4x²-4xy+y²+4y²-4yz+z²+z²-4xz+x²=5(x²+y²+z²)-4(xy+yz+xz)=20-4(xy+yz+xz)
要求最大值，就要求4(xy+yz+xz)最小值
因为
2(xy+yz+xz)=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²-2(x²+y²+z²)=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²-8
所以
-4(xy+yz+xz)=16-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]
所以
原式=20+16-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]=36-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]
因为
(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²最小值为0
所以
原式最大值为36
答案 36
（数学符号不会打）

Answer 2

解：原式=4X²+y²-4xy+4y²+z²-4yz+4z²+x²-4zx
=5(x²+y²+z²)-4(xy+xz+yz)
∵x²+y²+z²=4 且xy+xz+yz的最小值为0(当x、y、z中任意两个为0时，这个式子的值就为0)
∴最大值=4×5-0=20 这道题目我是错的，楼上的解答很详细，选他的

Answer 3

解：原式=4X²+y²-4xy+4y²+z²-4yz+4z²+x²-4zx
=5(x²+y²+z²)-4(xy+xz+yz)
=5(x²+y²+z²)-2(2xy+zyz+2xz)
=5(x²+y²+z²)-2(2xy+2yz+2xz+2x²+2y²+2z²-2x²-2y²-2z²)
=5(x²+y²+z²)-2[ （x²+2xy+y²）+（y²+2yz+z²）+（x²+2xz+z²）+（-2x²-2y²-2z²） ]
=5(x²+y²+z²)-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]+4（x²+y²+z²）
=9(x²+y²+z²)-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]
因为[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]的系数为-2，所以当[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]的值最小时原式值最大。而[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]的最小值为0
因为x²+y²+z²=4
所以原式的最大值=9x4+2x0=36
上面的解法是对的