Question

已知函数f(x)=x^2+2ax+1, (1)求f(x)在区间[-1,2]的最小值g(a)（2）求f(x)在区间[-1,2]的值域和最大值

Answer 1

f(x)=x²+2ax+1=(x+a)²+1-a²
开口向上，对称轴x=-a
-a<-1→a>1,区间在对称轴右侧，f(x)单调递增 ①
g(a)=f(-1)=2-2a
-a>2→a<-2,区间在对称轴左侧，f(x)单调递减 ②
g(a)=f(2)=5+4a
-2≤a≤1 区间包含对称轴，顶点处取得最小值 ③
g(a)=1-a²
整理：g(a)=5+4a a<-2
g(a)=1-a² -2≤a≤1
g(a)=2-2a a>1
(2)① 最大值=f(2)=5+4a
f(x)∈[2-2a,5+4a]
②最大值=f(-1)=2-2a
f(x)∈[5+4a,2-2a]
③ 最大值=max[f(-1),f(2)]
f(x)∈[1-a²,2-2a] a≤-½
f(x)∈[1-a²,5+4a] a≥-½

追问

③ 最大值=max[f(-1),f(2)]
f(x)∈[1-a²,2-2a] a≤-½
f(x)∈[1-a²,5+4a] a≥-½
我不是太明白，还有参考答案是5+2a,我不是太明白，我也认为是5+4a

追答

最大值是端点值f(-1)和f(2)之间大的那个

当a-½ 5+4a大

追问

:我的是-1≤ a≤1/2，值域[1-a²,5+4a] ，1/2≤ a≤2，值域[1-a²,5+4a]

追答

a1,一样吗？如是：

它们的中值=（-2+1）/2=-½

追问

我打错了，1/2≤ a≤2，值域[1-a²,2-2a]，为什么是负1/2，不应该是正的吗

追答

(5+4a)-(2-2a)>0

6a<-3
a<-3/6=-½