Question

高中数学，推理与证明

对于函数f(x)=1/x,找不到这样的正数A,使得在整个定义域内,|f(x)|<A恒成立，试加以证明，过程最好规范详细一些。

Answer 1

1)定义域:2^x≠1,
x≠0,关于原点对称
f(x)=x³(2^x+1)/2(2^x-1)
f(-x)=(-x)³(2^-x+1)/2(2^-x-1)=-x³(1+2^x)/2(1-2^x)=x³(2^x+1)/2(2^x-1)=f(x)
∴f(x)是偶函数
2)假设√a+√b是有理数,显然√a+√b>0
(否则a=b=0与条件矛盾)
∴√a-√b=(a-b)/(√a+√b)是有理数
∴√a=[(√a+√b)+(√a-√b)]/2是有理数,矛盾
假设不成立,√a+√b是无理数

Answer 2

假设存在这样一个整数A，则A为函数F(x)=|f(x)|的最大值。当x>0时，F’(x)=-1/x*x<0,单调递减，当x<0时，F’(x)=1/x*x>0,单调递增。所以F(0)为最大值A，又原函数在x=0处无定义，矛盾，所以命题得证。

Answer 3

f(x)=1/x的值域为负无穷到正无穷，故不存在正数A,使得在整个定义域内,|f(x)|<A恒成立

Answer 4

反证法：假设存在A，则可以得到函数的定义域为（负无穷，-1/A）并（1/A，无穷）与函数原来的定义域不相同，可知不存在。（|1/x|<A=>x属于（负无穷，-1/A）并（1/A，无穷））

Answer 5

假设：存在这样的整数A
因为 f(x)=1/x 可知X的取值范围X>0或X<0
如果[f(x)]<A可知x>A,x<-A
A为正数，则此与已知相矛盾。
故不存在A