Question

求一道高中数学椭圆题解答！在线等！

求解！！！在线等！已知椭圆x^2/2+y^2=1,点p（0，2），M、N两点在椭圆上且点M在P、N之间，P、M、N三点共线且|PM|=λ|PN|，求λ
λ的取值范围
想要详细过程

Answer 1

详解：设椭圆参数方程为x=√2cosθ，y=sinθ
由于N在椭圆上，故可设N(√2cosα， sinα)
同时设NM/MP=t，显然t>0，
由定比分点坐标公式的M点坐标为
Xm=√2cosα/(1+t)
Ym=(sinα+2t)/(1+t)
由于点M在椭圆上，则点M坐标(Xm，Ym)适合椭圆方程，
故有(cosα)^2/(1+t)^2+(sinα+2t)^2/(1+t)^2=1
整理得3 t=2-4sinα …………（1）
（分析：现在仅缺少sinα的范围）
设过点P的椭圆的切线斜率为k（显然k不等于0），两切点为A、B，切线方程为y=kx+2
则依题意点N 必然在A、B两点下方的部分椭圆上。
将y=kx+2与x^2/2+y^2=1联立并消去变量x，
得到关于y的二次方程（2k^2+1)y^2-4y+4-2k^2=0……（2）
由Δ=0得2k^2=3……………………………………………（3）
将（3）代入（2）得
y=1/2
即两切点纵坐标为1/2，
因此点N纵坐标范围为-1<y<1/2
即-1<sinα<1/2
将其代入（1）即得0<t<2/3…………………………（4）
由于|PM|=λ|PN|
则|PM|=λ(|PM|+|MN|)=λ(|PM|+t|MP|)=λ(1+t)|PM|
故有1=λ（1+t）即1/λ=1+t
∴1<1/λ<5/3
∴3/5<λ<1

Answer 2

1/3<λ<1
具体的做法是先写出过p点的直线方程，再求出该直线与椭圆的两个交点M和N，这样可得到|PM|和|PN|，然后就可求的λ的范围！

Answer 3

设m（x1，y1），n（x2,y2）
带入可以得到三个等式。然后因为椭圆有范围，就可以解了