Question

证明当x>0时，（x^2-1)lnx>(x-1)^2 求解答

Answer 1

1、当x=1时，左边=0,右边=0;
2、当x!=1时，
（1）当x>1时，两边同时除x-1，得到(x+1)lnx>x-1,即lnx>(x-1)/(x+1)
令f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),那么f(x)的导数为f'(x)=1/x-2/(x+1)^2,有f'(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，即f(x)大于f(1)=0,所以f(x)>0，即（x^2-1)lnx>(x-1)^2
（2）当0<x<1时，两边同时除x-1，得到(x+1)lnx<x-1,即lnx<(x-1)/(x+1)
令f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),那么f(x)的导数为f'(x)=1/x-2/(x+1)^2,有f'(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，即f(x)小于f(1)=0,所以f(x)<0，即lnx-(x-1)/(x+1)<0,也就是(x+1)lnx<x-1 ，即，（x^2-1)lnx>(x-1)^2
综上所述，得证