Question

设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0+∞,)上是增函数。

设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0+∞,)上是增函数。
(1)若mn<0,m+n<0,求证：f(m)+f(n)<0
(2)若f(1)=0,求满足f{log2[(1-x)^2]+1}>0的x的范围

Answer 1

证明：（1）由题意知道，f（x)在定义域内都是增函数。
mn<0则m,n异号，不妨假设m<0,n>0.
m+n<0,则|m|>|n|=n.假设|m|=-m=M，则M>n.
由奇函数定义知道：f(m)=-f(-m)=-f(M).
f(x) 在(0+∞,)上是增函数，M>n则f(M)>f(n).则-f(M)<-f(n).
所以f(m)+f(n)=-f(M)+f(n)<-f(n)+f（n）=0，即f(m)+f(n)<0。
注意：本题关键在于利用到奇函数的定义、增函数的定义。
（2）由于 f(x) 在(0+∞,)上是增函数且在定义域为奇函数，又因为f(1)=0
所以当x在（0，1）时 f(x)<0,对应的x在（-1，0）时f(x)>0.
x在（1，+∞）时f(x)>0，x在(-∞，-1)时 f(x)<0。
可见原命题f{log2[(1-x)^2]+1}>0即有：
-1 < log2[(1-x)^2]+1<0或者 log2[(1-x)^2]+1>1;
解出这两个不等式即可以得到x的范围。（这个不等式该不需要我继续求解下去吧？）

本题关键仍然在于利用奇函数的特点和增函数的特点。