Question

高二数学题（双曲线部分）

已知线段AB是双曲线（X2/a2）-Y2/b2=1（a＞0，b＞0）的不与对称轴平行的弦，点M是弦AB的中点，求证：AB与OM的斜率之积为定值。

Answer 1

设A（x1，y1），B（x2,y2）,则M(（x1+x2）／2,（y1+y2）／2),AB斜率为（y2-y1）／（x2-x1）OM斜率=（y1+y2）／（x1+x2）.将两点坐标带入双曲线方程得(x1)^2／a^2-(y1)^2／b^2=1,(x2)^2／a^2-(y2)^2／b^2=1.两式相减得（x1-x2）（x1+x2）／a^2-（y1-y2）（y1+y2）／b^2=0,结合上面两个斜率结果可得AB和OM斜率之积=b^2／a^2.即AB和OM斜率之积为定值。