Question

是否存在实数a,使函数f(x)=x²-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]

Answer 1

由题意得：
当-（-2a）/2*1=a≥1时，f(-1)=(-1)^2-2a*(-1)+a=2 a=1/3 f(1)=1^2-2a+a=-2 a=3
a不能同时等于两个值，所以不成立。
当a≤-1时，f（-1）=1+2a+a=-2 a=-1,f(1)=1-2a+a=2 a=-1,成立。
当-1＜a＜1时，x=a时取得最小值，f(a)=a^2-2a*a+a=-2 a=2或-1 不成立。
综上所述：a=-1时，函数f(x)=x²-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]

Answer 2

由于函数对称轴为x=a，
当a小于-1时，函数在[-1,1]内位增函数
所以f（-1）=-2，f（1）=2，解得a不存在。
当a大于1时，函数在[-1,1]内位减函数
所以f（-1）=2，f（1）=-2，解得a不存在。
当a大于-1小于0时，f（a）=-2，f（1）=2，解得a=-1
当a大于0小于1时，f（a）=-2，f（-1）=2，解得a无解
当a=1时，代入得到定义域为[-1,1]时，值域为[0,4],
当a=-1时，代入得到定义域为[-1,1]时，值域为[-2,2],
综上：a=-1时，满足函数f(x)=x²-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]