Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R,当a+b≠0时，都有（ f(a)+f(b) )/(a+b)>0

1.若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
2.若f(9^x-2·3^x)+f(2·9^x-k)>0对于任意x∈〔0，正无穷大）恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

1。
设对于任意a＞b，f（a）＜f（b）
当a＞b＞0时
有f（-a）+f（b）＞0，-a+b＜0
即（f（-a）+f（b））/（a+b）＜0
与已知条件不符，假设不成立
同理，若f（a）=f（b），则（f（-a）+f（b））/（-a+b）=0假设不成立
故a＞b时，f（a）＞f（b）
2。
因为f(9^x-2·3^x)+f(2·9^x-k)>0
又（ f(a)+f(b) )/(a+b)>0
∴(9^x-2·3^x)+(2·9^x-k)>0
即3·（3^x）²-2·（3^x）-k>0
因为x∈〔0，正无穷大）
∴可转化为3y²-2y-k>0 ，y>1
即3·（y-1/3）²-k-1/3>0，y>1
当y→1时，3·（y-1/3）²-k-1/3趋近于最小值
此时3·（y-1/3）²-k-1/3=1-k≥0
∴k≤1