Question

函数f(x)是(0,+∞)的增函数,f(x)>-3/x,f(f(x)+3/x)=2,求f(6)

RT

Answer 1

这个题目楼上二位都在用导数，但我一看这题目感觉就应该是个高中的题目，当然高中现在也学导数了，但恐怕人家高中生还是看不懂你们的方法。所以我还是用初等数学来解。
首先要看到要条件f(x)>-3/x只是为了保证f(x)+3/x> 0，
这样，由f(x)在（0，+∞）是增函数，f(f(x)+3/x)=2 恒成立就能够得出 f(x)+3/x是一个常数，
也就是说，有：f(x)+3/x = C（常数），在这里由于f(x)+3/x>0,所以C>0
变一下形，得到：f(x)= -3/x+C，
那么现在的任务也就是求这个常数C了。而我们还有一个条件没有用：f(f(x)+3/x)=2，
既然我们说f(x)+3/x = C，那这个条件也就是说 f(C)=2.
而我们在前面已经得出 f(x)= -3/x+C ，所以也就是有：f(C)=-3/C+C=2
解上面的方程，可得C有两解：C=3或C=-1,而我们知道 C是大于0的，所以C=3;
解出C之后，f(x)的解析式也就出来了：f(x)=-3/x+3
计算 f(6)=5/2
这个结果跟楼上是一样的。

自认为应该解释的很清楚了，如果还有什么没看明白的，楼主可以继续问，我再来继续解释。

Answer 2

f(x)>-3/x说明f(x)+3/x>0，函数f(x)是(0,+∞)的增函数，且f(f(x)+3/x)=2说明 f(x)+3/x是一个常数,假设
p(x)= f(x)+3/x;那么它的导数就是0,即p'(x)=f'(x)+(3/x)'=0,(3/x)'我忘记怎么求了，你求一下看然后就可以根据f'(x)+(3/x)'=0得到f'(x)和x的关系，再对x积分，得到f(x)和x的关系式，就是多了一个常量，根据f(f(x)+3/x)=2就可以把f(x)求出来了，最后不用我说了吧。

Answer 3

f(f(x)+3/x)=2
两边对x求导，得f'[f(x)+3/x]* [f'(x)-3/x∧2]=0
因为f(x)+3/x>0，f(x)是(0,+∞)的增函数，所以f'[f(x)+3/x]>0
f'(x)-3/x∧2=0 f(x)=-3/x+c
又f(f(x)+3/x)=2 -3/c+c=2 c=3或-1（舍）
f(x)=-3/x+3 f(6)=5/2

Answer 4

第一题
设x＜0，则-x＞0,∵当x>0时,f(x)=log2x
∴f(-x)=log2(-x)
∵函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x)

第二题
f(x)≥2即
当x＜0时，-log2(-x)≥2,解得x≥-1/4，解集-1/4≤x＜0
当x＞0时,log2x≥2，解得x≥4,解集x≥4
故集合A==[-1/4,0)∪[4,+∞)

g(x)≥16或1/根号2≤g(x)≤1即
2^x≥16或1/根号2≤2^x≤1
解得x≥4或-1/2≤x≤0
故集合B==[-1/2,0]∪[4,+∞)
画图可以看出A包含于B（或者说A被B包含）

第三题
假设当x>0,函数f(x)的图象与y=x有交点
即log2x=x
即2^x=x, 但这与条件“对任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立”矛盾
所以x>0,函数f(x)的图象与y=x没有交点
同理可证当x<0,函数f(x)的图象与y=x没有交点