Question

已知椭圆5x^2+9y^2=45,A（-3，0）B(3,0),P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP，BP分别交Y轴于M,N。。。

已知椭圆5x^2+9y^2=45,A（-3，0）B(3,0),P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP，BP分别交Y轴于M,N，（1）求向量OM×向量ON的值 （2）在以上条件下，若G(s,0),H(k,0),且向量GM⊥向量HN，（s＜k），分别以OG，OH为边做两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时G，H点的坐标。
一定要有详细过程啊！谢谢了！尽快回答！

Answer 1

1.

设P(x,y) ，-3＜x＜3

作PC⊥x轴

则|PC|=|y|，|AC|=|x+3|，|BC|=|3-x|

∵|AC|/|AO|=|PC|/|OM|  

∴|x+3|/3 = |y|/|OM|............①

∵|BO|/|BC|=|ON|/|PC|

∴3/|3-x|=|ON|/|y|.........②

①÷②得

|(x+3)(3-x)|/9 =y²/(|OM|*|ON|)

|9-x²|/9 =y²/(|OM|*|ON|)

∵-3＜x＜3，∴9-x²＞0

∴(9-x²)/9 =y²/(|OM|*|ON|)

∴1- (x²/9)=y²/(|OM|*|ON|)

∵x²/9 + y²/5 =1

∴1- (x²/9)=y²/5

∴y²/(|OM|*|ON|) = y²/5

∴|OM|*|ON|=5

∴向量OM×向量ON=|OM|*|ON|*cos0°=|OM|*|ON|=5

2.当G、H在原点时不满足

当G、H不在原点，即s,k≠0

∵|OM|*|ON|=5

∴设M(0,m)，则N(0,m/5)

向量GM=(-s，m)，向量HN=(-k，5/m)

∵向量GM⊥向量HN

∴(-s)(-k)+(m)(5/m)=0

即sk= -5

s²k²=25

s²+k²≥2√(s²k²)=10，

∵s＜k

∴当s²=k²，即s=-√5，k=√5时取等号

∴当G(-√5,0)，H(√5,0)时，两正方形的面积和取最小值10

Answer 2

人家说的挺好， ~

Answer 3

1.
设P(x,y) ，-3＜x＜3
作PC⊥x轴
则|PC|=|y|，|AC|=|x+3|，|BC|=|3-x|
∵|AC|/|AO|=|PC|/|OM|
∴|x+3|/3 = |y|/|OM|............①
∵|BO|/|BC|=|ON|/|PC|
∴3/|3-x|=|ON|/|y|.........②
①÷②得
|(x+3)(3-x)|/9 =y²/(|OM|*|ON|)
|9-x²|/9 =y²/(|OM|*|ON|)
∵-3＜x＜3，∴9-x²＞0
∴(9-x²)/9 =y²/(|OM|*|ON|)
∴1- (x²/9)=y²/(|OM|*|ON|)
∵x²/9 + y²/5 =1
∴1- (x²/9)=y²/5
∴y²/(|OM|*|ON|) = y²/5
∴|OM|*|ON|=5
∴向量OM×向量ON=|OM|*|ON|*cos0°=|OM|*|ON|=5

2.当G、H在原点时不满足
当G、H不在原点，即s,k≠0
∵|OM|*|ON|=5
∴设M(0,m)，则N(0,m/5)
向量GM=(-s，m)，向量HN=(-k，5/m)
∵向量GM⊥向量HN
∴(-s)(-k)+(m)(5/m)=0
即sk= -5
s²k²=25
s²+k²≥2√(s²k²)=10，
∵s＜k
∴当s²=k²，即s=-√5，k=√5时取等号
∴当G(-√5,0)，H(√5,0)时，两正方形的面积和取最小值10

够了吧