Question

已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=b1且对任意n∈N都有an+bn=1，a(n+1)/an=bn/1-an^2

判断{1/an}是否为等差数列，本说明理由.
顺便多问一题：已知函数f(x)=分段函数（x^2-2ax)e^x,x>0
2x ,≤0
x=1是函数y=f(x)的极值点
（1）求实数a的值（2）若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的值

Answer 1

由an+bn=1可得bn=1-an,又a(n+1)/an=bn/1-an^2 ，所以a(n+1)/an=1/1-an，则an/a(n+1)=1-an,

等式两边除以an,可得1/a(n+1)=1/an-1,即1/a(n+1)-1/an=1，且a1=1/2，an不为0，所以{1/an}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。

第2道：(1)极值点即f’(x)=为0的点，x>0时，f‘(x)=（2x-2a+x^2-2ax)e^x,

x=1是函数y=f(x)的极值点,即f'(1)=0,代人可得a=1

(2)f(x)=分段函数（x^2-2x)e^x,x>0

                             2x  ,≤0

x≤0时，f(x)≤0;   0≤x≤2时，f(X)≤0;  x>2时，f(X)>0,其大致形状如图所示，所以m=0或-e

Answer 2

由an+bn=1可得bn=1-an,又a(n+1)/an=bn/1-an^2 ，所以a(n+1)/an=1/1-an，则an/a(n+1)=1-an,
等式两边除以an,可得1/a(n+1)=1/an-1,即1/a(n+1)-1/an=1，且a1=1/2，an不为0，所以{1/an}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。
第2道：(1)极值点即f’(x)=为0的点，x>0时，f‘(x)=（2x-2a+x^2-2ax)e^x,
x=1是函数y=f(x)的极值点,即f'(1)=0,代人可得a=1
(2)f(x)=分段函数（x^2-2x)e^x,x>0
2x ,≤0
x≤0时，f(x)≤0; 0≤x≤2时，f(X)≤0; x>2时，f(X)>0,所以m=0或-e