Question

已知数列{an}、{bn}满足：a1=1/4，an+bn=1，bn+1=bn/1-an^2.

(1)求证：数列{1/bn-1}是等差数列(2)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，若4aSn<bn对于n属于N*恒成立，试求实数a的取值范围？

Answer 1

a1=1/4，an+bn=1，b(n+1)=bn/(1-an^2)
b1=1-1/4=3/4
1.
b(n+1)=bn/(1-an^2)
bn/b(n+1)=1-an^2=1-(1-bn)^2=2bn-bn^2
1/b(n+1)=2-bn
1/b(n+1)-1=1-bn
[b(n+1)-1]/b(n+1)=bn-1
b(n+1)/[b(n+1)-1]=1/(bn-1)
b(n+1)/[b(n+1)-1]-1=1/(bn-1)-1
1/[b(n+1)-1]=1/(bn-1)-1
1/[b(n+1)-1]-1/(bn-1)=-1
所以1/(bn-1)是首项为1/(b1-1)=-4，公差为-1的等差数列。

2
由上可得1/(bn-1)=-4-(n-1)=-n-3
bn=-1/(n+3)+1=(n+2)/(n+3)
an=1-bn=1/(n+3)
Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+ana(n+1)
=(1/4)(1/5)+(1/5)(1/6)+(1/6)(1/7)+…[1/(n+2)][1/(n+3)]+[1/(n+3)][1/(n+4)]
=(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+…[1/(n+2)-1/(n+3)]+[1/(n+3)-1/(n+4)]
=1/4-1/(n+4)
又4aSn＜bn
4a[1/4-1/(n+4)]＜(n+2)/(n+3)
(n+3)a[(n+4)-4]＜(n+2)(n+4)
(a-1)n^2+(3a-6)n-8＜0
若a-1＞0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8为开口向上的抛物线，总存在n使(a-1)n^2+(3a-6)n-8＞0，所以不符合题意；
若a-1＜0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8为开口向下的抛物线，只要△＜0即可，所以
(3a-6)^2+32(a-1)=9a^2-4a+4＜0,这样的a不存在；
若a-1=0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8=-3n-8＜0恒成立；
综上所述a=1.