Question

线性代数N阶矩阵副对角线全是0。。。其余全是1，求行列式

Answer 1

第一步：把各行都加到第一行，第一行变成n-1 n-1······n-1 n-1 ，然后提出（n-1），第一行变成1 1······1 1
第二步：把各行都减去第一行，矩阵行列式变为上三角阵型，即（n-1）1 1 ······1 1 的行列式
0 0······-1 0
······ ······
-1 0·······0 0
行列式=(n-1) * (-1)^(1+2+3+······+n-1) * (-1)^(n-1)

=(n-1) * (-1)^[n*(n-1)/2] * (-1)^(n-1)

=(n-1) * (-1)^[(n+2)*(n-1)/2]

不论其余元素都是几，此方法是不变的喔~\(^o^)/~

Answer 2

1。

让从第二列开始，每一列都减去第一列，那么行列式不变，矩阵变成

[x -E_(n-1)]
[1 0 ]，
其中E_k表示k阶单位阵，x表示(n-1)个1组成的列向量。
所以矩阵的行列式成为((-1)^(1+n)) det(-E_(n-1))，其中det()表示行列式。
det(-E_(n-1))=(-1)^(n-1)，
所以原来矩阵的行列式是(-1)^(1+n) (-1)(n-1) = (-1)^(2n) = 1。

Answer 3

将d按第1列分拆,
其中一列为
r,0,...,0
d=-ra11+d1
再将d1按第2列分拆
d=
-ra11-ra22+d2
如此下去得
d
=
|aij|
-
r(a11+a22+...+ann)
如果没有其他条件,
只能得这个结果了

Answer 4

将第一行-1倍加至其余各行，变为爪型，再将各列加至最后一列此时副对角线以下元全为0,副对角元从右上角往下为n-1,-1,…-1最后结果为(-1)^[(n-1)+n*(n-1)/2]*(n-1)=(n-1)*(-1)^(n+2)(n-1)/2