Question

已知α,β都是锐角,且sinβ/sinα=cos(α+β).

（1）求证:tanβ=tanα/1+2tan²α
（2）当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值。

Answer 1

答案见图片

Answer 2

（一）sinb/sina=cos(a+b)=cosacosb-sinasinb.===>sinb=sinacosacosb-sin²asinb.===>sinb(1+sin²a)=sinacosacosb.===>tanb=sinacosa/(1+sin²a)=tana/[sec²a+tan²a]=tana/(1+2tan²a).(二）∵1+2tan²a≥(2√2)|tana|.===>|tana|/(1+2tan²a)≤√2/4.===>-√2/4≤tana/(1+2tan²a)≤√2/4.∴(tanb)max=√2/4.此时应有1=2tan²a.===>tana=√2/2.∴tan(a+b)=(tana+tanb)/[1-tanatanb]=√2.