Question

设函数f(x)的定义域为R，对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x＞0时，0＜f(x)＜1。（1）求证：f(0)=1,

设函数f(x)的定义域为R，对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x＞0时，0＜f(x)＜1。（1）求证：f(0)=1,且当x＜0时，f(x)＞0；

Answer 1

证：
(1)
令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1

(2)
令m=x,n=-x (x<0)
则-x>0
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
又-x>0时，0<f(-x)<1
因此f(x)=1/f(-x)>1/1=1
f(x)>1
即x<0时，f(x)>1