Question

F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线的两焦点,直线x=4/3是右准线

A1,A2是两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线A1P,A2P交双曲线的右准线分别为M,N
求证：向量F1M*F2N是定值

Answer 1

设P(x1 , y1) ,

因为P在双曲线上,

所以有(x1)^2 /4 - (y1)^2 /5=1

整理得(y1)^2 / [(x1)^2 - 4]=5/4

易知A1(-2,0)A2(2,0)

所以得A1P:y=(y1/x1 + 2)(x+2) A2P:y=(y1/x1 - 2)(x-2)

所以M(4/3 , 10y1/[3(x1 + 2)] ) , N(4/3 , -2y1/[3(x1 - 2)] )

所以向量F1M=(13/3 , 10y1/[3(x1 + 2)] ) , 向量F2N=(-5/3 , -2y1/[3(x1 - 2)] )

所以向量F1M*向量F2N

=-65/9 - (20/9)*(y1)^2 / [(x1)^2 - 4]

=-65/9 - (20/9)*(5/4)

=-65/9 - 25/9

=-90/9=-10 (定值)

Answer 2

http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/261609/