Question

已知向量a=（-3，2），b=（2，1），c=（3，1），t∈R，

1）求丨a+tb丨的最小值及相对应的t值
2）若a-tb与c共线，求实数t。
一楼的答案不对！是从别人那摘过来的吧。。。

Answer 1

向量ab=(-3)*2+2=-4.
|a|^2=(-3)^2+2^2=13.
|b|^2=2^2+1=5,
|a+tb|=√(a^2+t^2*b^2+2tab)=√(5t^2-8t+13)
=√[5(t-8/10)^2+49/5]

要使|a+tb|最小,则t=8/10=4/5,
|a+tb|最小值=√(49/5)=7√5/5.

2.若a-tb与c共线，则有
令,a-tb=mc,
a-tb=(-3-2t,2-t)
mc=(3m,-m).

-3-2t=3m,
2-t=-m.
解方程,得
t=3/5,m=-7/5.

则,实数t=-7/5.

Answer 2

一楼答案正确，利用三角形余弦定理也得同样答案
|a|^2=13
|tb|^2=5t^2
cos(a,tb夹角)=-4/根65
cos(180度-上述夹角）=4/根65
|a+tb|^2=13+5t^2-2t*根65*4/根65=5t^2-8t+13
当t=4/5时有最小值49/5
|a+tb|最小值为7/5*根5